Binaire Extreme Uitleg
Wat zijn binaire getallen?
Binaire getallen vormen de basis van alle digitale systemen en computers. Ze gebruiken slechts twee cijfers, namelijk 0 en 1, in tegenstelling tot het decimale systeem dat we dagelijks gebruiken, dat tien cijfers (0-9) gebruikt. Elk binair cijfer wordt een "bit" genoemd. Een reeks van acht bits wordt een "byte" genoemd.
Waarom binaire getallen?
Computers gebruiken binaire getallen omdat ze werken met digitale schakelingen die slechts twee toestanden kunnen hebben: aan (1) of uit (0). Deze eenvoudige tweestandenlogica maakt binaire getallen uiterst geschikt voor het representeren van data in elektronische apparaten.
De basis van binaire getallen
In het binaire systeem is de waarde van elk cijfer (bit) gebaseerd op een macht van 2, in plaats van een macht van 10 zoals in het decimale systeem. Hier is hoe de waarde van elk bit wordt bepaald in een 8-bit binair getal:
| Bitpositie | Macht van 2 | Decimale waarde |
|---|---|---|
| 0 | 2^0 | 1 |
| 1 | 2^1 | 2 |
| 2 | 2^2 | 4 |
| 3 | 2^3 | 8 |
| 4 | 2^4 | 16 |
| 5 | 2^5 | 32 |
| 6 | 2^6 | 64 |
| 7 | 2^7 | 128 |
Omzetten van binair naar decimaal
Om een binair getal om te zetten naar een decimaal getal, tel je de waarden van de bits op die op "1" staan. Laten we bijvoorbeeld het binaire getal 1101 omzetten naar een decimaal getal:
- 1 * 2^3 (8) + 1 * 2^2 (4) + 0 * 2^1 (0) + 1 * 2^0 (1)
- Dit wordt: 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Dus, het binaire getal 1101 is gelijk aan 13 in het decimale systeem.
Omzetten van decimaal naar binair
Om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal, deel je het getal herhaaldelijk door 2 en noteer je de restwaarden. Deze restwaarden vormen het binaire getal, gelezen van onder naar boven. Laten we bijvoorbeeld het decimale getal 19 omzetten naar een binair getal:
| Stap | Deel door 2 | Quotiënt | Rest |
|---|---|---|---|
| 1 | 19 / 2 | 9 | 1 |
| 2 | 9 / 2 | 4 | 1 |
| 3 | 4 / 2 | 2 | 0 |
| 4 | 2 / 2 | 1 | 0 |
| 5 | 1 / 2 | 0 | 1 |
Lezen van onder naar boven, de restwaarden geven het binaire getal 10011. Dus, het decimale getal 19 is gelijk aan 10011 in het binaire systeem.
Binaire rekenkunde
Net zoals in het decimale systeem, kun je in het binaire systeem ook optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Hier zijn enkele voorbeelden:
Optellen
Binaire optelling volgt dezelfde logica als decimale optelling, maar het is eenvoudiger omdat er slechts twee cijfers zijn. Laten we bijvoorbeeld 101 en 110 optellen:
101
+ 110
------
1011
Het resultaat is 1011 in binair, wat gelijk is aan 11 in decimaal.
Uitleg stap voor stap:
- Laatste kolom (rechts): 1 + 0 = 1
- Middelste kolom: 0 + 1 = 1
- Eerste kolom (links): 1 + 1 = 10 in binair, wat betekent 0 schrijven en 1 onthouden (carry over).
- Carry over naar een nieuwe kolom links van de eerste kolom: 1 (van carry over)
Dus, de optelling van 101 en 110 in binair is 1011.
Binaire rekenkunde
Net zoals in het decimale systeem, kun je in het binaire systeem ook optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Hier zijn enkele voorbeelden:
Optellen
Binaire optelling volgt dezelfde logica als decimale optelling, maar het is eenvoudiger omdat er slechts twee cijfers zijn. Laten we bijvoorbeeld 101 en 110 optellen:
101
+ 110
------
1011
Het resultaat is 1011 in binair, wat gelijk is aan 11 in decimaal.
Uitleg stap voor stap:
- Laatste kolom (rechts): 1 + 0 = 1
- Middelste kolom: 0 + 1 = 1
- Eerste kolom (links): 1 + 1 = 10 in binair, wat betekent 0 schrijven en 1 onthouden (carry over).
- Carry over naar een nieuwe kolom links van de eerste kolom: 1 (van carry over)
Dus, de optelling van 101 en 110 in binair is 1011.
Aftrekken
Binaire aftrekking gebruikt hetzelfde principe als decimale aftrekking, met het concept van lenen. Laten we bijvoorbeeld 1101 - 101 uitvoeren:
1101
- 0101
------
1000
Het resultaat is 1000 in binair, wat gelijk is aan 8 in decimaal.
Uitleg stap voor stap:
- Laatste kolom (rechts): 1 - 1 = 0
- Middelste kolom: 0 - 0 = 0
- Volgende kolom: 1 - 1 = 0
- Eerste kolom (links): 1 - 0 = 1
Dus, de aftrekking van 1101 en 0101 in binair is 1000.
Vermenigvuldigen
Binaire vermenigvuldiging lijkt op decimale vermenigvuldiging, maar het is eenvoudiger omdat je alleen met nullen en enen werkt. Laten we bijvoorbeeld 101 en 11 vermenigvuldigen:
101
x 11
-----
101
101
-----
1111
Het resultaat is 1111 in binair, wat gelijk is aan 15 in decimaal.
Uitleg stap voor stap:
- Eerste rij: 101 vermenigvuldigd met de laatste 1 geeft 101
- Tweede rij: 101 vermenigvuldigd met de eerste 1 (met een plek opschuiven naar links) geeft 1010
- Optellen van de resultaten: 101 + 1010 = 1111
Dus, de vermenigvuldiging van 101 en 11 in binair is 1111.
Delen
Binaire deling is vergelijkbaar met decimale deling, maar eenvoudiger. Laten we bijvoorbeeld 1010 delen door 10:
10 | 1010
- 10
-----
10
- 10
-----
0
Het resultaat is 101 in binair, wat gelijk is aan 5 in decimaal.
Uitleg stap voor stap:
- Stap 1: 10 past 1 keer in 10, wat een resultaat van 1 oplevert.
- Stap 2: Trek 10 af van 10, resultaat is 0.
- Stap 3: Breng de volgende 1 naar beneden. Herhaal de deling, 10 past 1 keer in 10, voeg 1 toe aan het resultaat.
- Stap 4: Trek opnieuw af, resultaat is 0.
Dus, de deling van 1010 door 10 in binair is 101.
Binaire logische operaties
Naast rekenkundige operaties, ondersteunen binaire getallen ook logische operaties zoals AND, OR, en XOR. Deze operaties worden veel gebruikt in digitale elektronica en computercodering.
AND-operatie
De AND-operatie vergelijkt twee binaire getallen bit voor bit en geeft een 1 alleen als beide bits 1 zijn. Bijvoorbeeld:
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| AND | 1 | 1 | 0 | 1 |
| = | 1 | 0 | 0 | 1 |
Het resultaat is 1001 in binair.
OR-operatie
De OR-operatie vergelijkt twee binaire getallen bit voor bit en geeft een 1 als ten minste één van de bits 1 is. Bijvoorbeeld:
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| OR | 1 | 1 | 0 | 1 |
| = | 1 | 1 | 1 | 1 |
Het resultaat is 1111 in binair.
XOR-operatie
De XOR-operatie (exclusive OR) vergelijkt twee binaire getallen bit voor bit en geeft een 1 als één van de bits 1 is, maar niet beide. Bijvoorbeeld:
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| XOR | 1 | 1 | 0 | 1 |
| = | 0 | 1 | 1 | 0 |
Het resultaat is 0110 in binair.
Praktische toepassingen van binaire getallen
Binaire getallen hebben talloze toepassingen in de moderne technologie, van het coderen van kleuren in digitale afbeeldingen tot het opslaan van gegevens in computers en het verzenden van informatie over netwerken. Hier zijn enkele voorbeelden:
- Computers: Alle gegevens in een computer, inclusief tekst, afbeeldingen en geluid, worden opgeslagen en verwerkt als binaire getallen.
- Netwerken: IP-adressen in computernetwerken worden vaak weergegeven in binaire vorm. Bijvoorbeeld, het IP-adres 192.168.1.1 kan worden geschreven als 11000000.10101000.00000001.00000001 in binair.
- Digitale elektronica: Logische schakelingen in digitale apparaten gebruiken binaire logica om berekeningen uit te voeren en beslissingen te nemen.
Bezoekerscounter
Totaal aantal bezoekers: 294